贝叶斯猜数字 — 噪声中寻找真相

游戏规则

基本规则

系统在 1~N 中随机选一个秘密数字。你每轮猜一个数，系统给出提示：

偏高 → 你猜的数 > 秘密数字
偏低 → 你猜的数 < 秘密数字
正确 → 猜中了

噪声机制

每次提示有一定概率说谎（默认 20%）。说谎时「偏高」变「偏低」，反之亦然。猜中时永远不说谎。

P(真话) = 1 - 谎言率
P(谎话) = 谎言率

贝叶斯更新：每次收到提示后，我们用贝叶斯定理更新每个数字的后验概率。即使提示可能是假的，多次更新后概率仍会收敛到真实值——因为真话的概率更高，真相会在噪声中浮现。

开始猜数字

数字范围 1 ~ 100

谎言概率 20%

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等待中

贝叶斯最优猜测：- (概率 -)

不确定性

最大

后验概率热力图 — 颜色越亮，该数字是答案的概率越高

AI 对战：最优贝叶斯策略

让 AI 用最大信息增益策略自动猜数字。每次选择能最大程度降低不确定性的猜测。看看 AI 需要几步。

谎言率 vs 猜测次数

谎言率从 0% 到 45%，AI 平均需要多少步？当谎言率接近 50% 时，提示几乎没有信息量，猜测次数会急剧上升。

贝叶斯更新的数学

核心公式：贝叶斯定理

对于每个候选数字 x，收到提示 h 后的后验概率：

          P(x|h) = P(h|x) · P(x) / P(h)
        

其中似然函数 P(h|x) 取决于谎言率 ε：

如果 h 是真话方向：
P(h|x) = 1 - ε

如果 h 是谎话方向：
P(h|x) = ε

为什么噪声中仍能收敛？
只要 ε < 0.5（谎言率不超过 50%），每次更新都会让真实值的概率相对增加。这就像投票：即使每个选民有 20% 概率投错票，只要多数人投对，最终结果仍然正确。

信息论视角：每次提示携带的信息量为 1 - H(ε) 比特，其中 H(ε) = -ε·log₂(ε) - (1-ε)·log₂(1-ε) 是二元熵。当 ε=0 时每次获得 1 比特；当 ε=0.5 时信息量为 0。