牛顿分形：一个求根公式画出的战争地图

把复平面每个点塞进同一个迭代函数，三个根像三个国家一样瓜分了整个平面——它们的边界是无限复杂的分形。

模块 1 · 单点追踪：看一个点如何被「吸」走

在复平面上点一个起点，观察牛顿迭代如何把它一步步拉向某个根。也可以从下方预设按钮直接选一个起点。

实部 → 虚部 ↑

点击画布选起点

起点：- 迭代次数：- 收敛根：-

步	zₙ (实部, 虚部)	\|zₙ - root\|

把平面上每个点都跑一次牛顿迭代，按最终收敛到哪个根染色。你会看到三个根像国家一样瓜分了整个复平面。

中心 0 + 0i

缩放 1×

方程 z³ - 1

迭代 100

点击放大 · 右键缩小 · 滚轮缩放双击放大 · 单指拖拽 · 双指缩放

1×

-渲染耗时

-像素数

-收敛率

-平均迭代

最大迭代次数 100

越靠近边界，命运对初始值越敏感。放大观察，边界永远不会变成光滑曲线。点击下方预设坐标，画布会动画缩放到目标位置。

提示：放大后可以继续在上方画布上点击/双击进一步探索；右键或双指捏合可缩小回到全景。

在左侧画布点选一个边界区域的点 A，系统会自动生成一个距 A 仅 0.001 的点 B。同时观察两条轨迹，看它们如何分道扬镳。

点击边界区域选点 A

点 A -

A 收敛根 -

点 B（距 A 仅 0.001） -

B 收敛根 -

点击左侧画布的边界区域，看两个相距 0.001 的点如何走向完全不同的结局。

牛顿迭代公式（求方程 f(z)=0 的根）：

z_n+1 = z_n - f(z_n) / f'(z_n)

对于 f(z) = z³ - 1：

z_n+1 = z_n - (z_n³ - 1) / (3·z_n²) = (2·z_n³ + 1) / (3·z_n²)

三个根分别为：1, e^2πi/3, e^4πi/3（即 1, -1/2+√3/2·i, -1/2-√3/2·i，在复平面上构成正三角形的三个顶点）

染色规则：每个像素代表复平面上的一个起点 z₀，反复代入公式得到一个序列 z₀ → z₁ → z₂ → …，看它最终收敛到哪个根。
迭代次数越少（收敛越快）颜色越亮，越多（越接近边界）颜色越暗——边界区域因此自动呈现暗色分形纹路。

牛顿迭代本来是寻找答案的方法。把所有起点同时画出来后，我们看到的却是答案之间的战争。离答案很远的地方，结果反而稳定；在几个答案势均力敌的地方，命运对初始条件极端敏感。

如果你觉得「简单规则生成无穷复杂」很有意思，可以看看另一个经典分形——曼德勃罗集：无限放大的数学宇宙。同样是迭代，同样在边界处藏着一个无穷宇宙。