女生录取率比男生低十几个百分点，调查完发现：偏袒的是女生。
加州大学伯克利分校收到一封投诉：研究生招生涉嫌性别歧视。
数据摆在桌上，白纸黑字——
差了 -- 个百分点。看起来铁证如山。
但统计学家拿到分系数据后，说了一句话：
「你们搞反了。」
下面是申请人数最多的 6 个系（A–F）的真实数据。粉色高亮 = 该系女生录取率更高。
| 系 | 男生申请 | 男生录取率 | 女生申请 | 女生录取率 | 谁更高 |
|---|
6 个系里有 -- 个系女生录取率更高。整体却是男生高 -- 个百分点。
这就是辛普森悖论：分组数据的趋势，和合并数据的趋势完全相反。
看看男女生分别申请了哪些系。蓝色 = 男生，粉色 = 女生。
发现了吗？男生扎堆申请 A、B 系——这两个系录取率超过 60%。 女生扎堆申请 C、D、E、F 系——这几个系录取率只有 7%~35%。
女生不是被歧视了，而是选了更难进的系。
每个系的男女录取率并排对比，一目了然。
如果女生的申请分布和男生一样（都去申请好录取的系），整体录取率会变成多少？
如果女生也去申请好录取的系，整体录取率反而会超过男生。
随机生成招生数据，看看悖论出现的频率。条件：各系男女录取率接近，但申请分布不均匀。
当存在一个隐藏变量（混淆因子）同时影响分组方式和结果时， 合并数据的趋势可以和分组数据完全相反。
在伯克利案例中，隐藏变量是「申请哪个系」——它同时影响了性别分布和录取率。
肾结石治疗：A 疗法整体成功率更低，但在大结石和小结石两个分组中都更高。因为医生倾向于给重症患者用 A 疗法。
棒球击球率：球员 A 在左投和右投面前击球率都高于球员 B，但赛季总击球率更低。因为 A 面对更多右投手（更难打）。
新冠疫苗：以色列数据显示接种者死亡率更高——因为接种者中老年人比例远高于未接种者。按年龄分组后，疫苗效果显著。